Các vectơ Pauli thiết lập các mối quan hệ giao hoán và phi giao hoán dựa trên phép nhân vectơ.

[ σ a , σ b ] + { σ a , σ b } = ( σ a σ b − σ b σ a ) + ( σ a σ b + σ b σ a ) 2 i ε a b c σ c + 2 δ a b I = 2 σ a σ b {\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]+\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=(\sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a})+(\sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a})\\2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+2\delta _{ab}I&=2\sigma _{a}\sigma _{b}\end{aligned}}}

vậy nên,

σ a σ b = i ε a b c σ c + δ a b I   . {\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+\delta _{ab}I~.}

Mỗi vế của phương trình với các thành phần 3-vector ap và bq (có giao hoán với ma trận Pauli apσq = σqap) với mỗi ma trận σq và vectơ ap (cũng nhw là bq), và a, b, c → p, q, r, để tránh mâu thuẫn về mặt ký hiệu,

a p b q σ p σ q = a p b q ( i ε p q r σ r + δ p q I ) a p σ p b q σ q = i ε p q r a p b q σ r + a p b q δ p q I   . {\displaystyle {\begin{aligned}a_{p}b_{q}\sigma _{p}\sigma _{q}&=a_{p}b_{q}\left(i\varepsilon _{pqr}\,\sigma _{r}+\delta _{pq}I\right)\\a_{p}\sigma _{p}b_{q}\sigma _{q}&=i\varepsilon _{pqr}\,a_{p}b_{q}\sigma _{r}+a_{p}b_{q}\delta _{pq}I~.\end{aligned}}}

Cuối cùng, ta quy ước ký hiệu tích vô hướng và tích có hướng. Kết quả như sau:

( a → ⋅ σ → ) ( b → ⋅ σ → ) = ( a → ⋅ b → ) I + i ( a → × b → ) ⋅ σ → {\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}}

(1)